山东大学数学学院 赵振礼  马树萍

你有没有想过，为什么无人机会在风中自主调整姿态？为什么电网能在设备故障时依然稳定运行？又或者，股票价格为何会突然剧烈波动？这些现象背后，其实都隐藏着一个共同的“推手”——随机性。

我们生活的世界充满了不确定性。一阵风、一次设备故障、一条突发新闻，都可能让系统瞬间切换运行模式。当科学家试图用数学模型描述这些复杂系统时，最大的挑战就是如何捕捉这种“随机跳变”的特性。

传统的控制理论在面对这些善变的系统时，常常显得力不从心。直到20世纪60年代，两位科学家Krasovskii和Lidskii开创性地将概率论中的马尔可夫过程与动态系统理论相结合，终于找到了一把钥匙——Markov跳变系统。

这套理论就像给数学模型装上了“预测随机性”的超能力，不仅成为现代控制领域的基石，更在通信、金融、生物等多个领域大放异彩。从确保电网稳定运行，到预测金融市场波动，甚至模拟生物体内的分子运动，都能看到它的身影。

初识Markov过程：预测未来的“记忆大师”

你有没有想过，为什么有时候我们只需要关注“现在”，就能预测“未来”？这背后其实隐藏着一个重要的数学原理——马尔可夫链，它是理解Markov跳变系统的基础。

早在1906年，俄国数学家安德雷·马尔可夫提出了一个有趣的观点：在状态转移过程中，未来的状态仅取决于当前的状态，而无需回溯全部的历史过程。这种“记忆力短暂”的特性，后来被称为“Markov性质”，也称作“无记忆性”。

让我们用一个生活中的例子来理解它。假设每天的天气只有两种状态：晴天或雨天。Markov性质告诉我们，明天的天气只和今天有关，和昨天、前天乃至更早的天气都没有直接关系。比如：今天若是晴天，明天下雨的概率为80%；今天若是雨天，明天放晴的概率为60%。这种模态转移规律可以用下面的模态转移图表示：

▲模态转移图，S1代表晴天，S2代表雨天。

Markov过程的这种“无记忆性”听起来似乎过于理想化，毕竟现实世界往往错综复杂。但恰恰是这种“简化”，反而让我们能够分析和理解原本难以处理的复杂系统。

当我们把这种基于概率的跳转机制融入传统的动态系统模型中，就相当于在“确定性”和“随机性”之间架起了一座桥梁，就得到了一类能描述随机切换行为的数学模型——Markov跳变系统。

它的核心特点非常明确：系统本身会随机地在不同模态之间跳变，而跳变的规律，就遵循Markov链。换句话说，它既反映了现实世界中的不确定性，又提供了可分析、可预测的数学结构。

广义Markov跳变系统：当随机跳变遭遇代数约束

想象一下，工程师正在设计一颗卫星的姿态控制器。他们不仅要应对推进器突然故障导致的动力学突变——这就像系统突然“跳变”到另一种模式；还必须严格遵守姿态角与轨道几何之间无法绕开的数学约束。这类既包含动态变化（微分方程）、又内置硬性规则（代数方程）的系统，被称为广义系统。

而当我们把这种“带约束”的广义系统和随机跳变机制结合在一起，就形成了一类非常特殊且强大的模型——广义Markov跳变系统。它就像一位“规则破坏者”，既要在随机跳变中保持稳定，又必须满足那些刻在数学本质里的限制条件。

正因为同时描述了动态演化与结构约束，广义Markov跳变系统比传统的Markov跳变系统更能捕捉真实系统的复杂性。它的出现，正在悄然改变我们理解和控制高端工程系统的方式。

目前，这类系统已在多个前沿领域发挥关键作用，例如，航天器姿态容错控制、智能电网稳定性管理、工业机器人多模态操作、核反应堆功率调节系统、化工过程多相态控制、5G通信网络拓扑重构等。从太空到能源，从制造到通信，广义Markov跳变系统正成为理解复杂世界的重要“数学语言”。

▲航天器飞行姿态控制

另一方面，现实世界中的系统往往不像教科书里那样“规整”，因为描述系统的方程个数和需要确定的状态变量个数常常是不相等的。这种“方程和变量对不上”的情况，恰恰反映了真实工程的复杂性。来看两个例子：

一个例子是无人机集群协同控制。假设一个10架无人机的编队，每架无人机都有位置、速度、电量等多个状态变量。但整个集群可能只需要遵循少数几条全局指令，比如目标分配和避障规则。这时候，约束条件（方程）的数量就远少于状态变量的个数。

另一个例子是卫星姿态测量。在卫星控制中，为了确保高度可靠，我们常常会使用冗余传感器。比如用6个陀螺仪和星敏感器（产生6个方程）来测量仅仅3个姿态角（状态变量）。这个时候，方程的数量就超过了变量个数。

非方广义Markov跳变系统：揭示现实世界的两个核心特点

当方程和变量数量不匹配时，这样的系统就被称为非方广义系统。它可以分为两类：当方程个数少于状态变量个数，称之为欠定系统（如无人机集群）；反之，则称之为超定系统（如卫星姿态测量）。如果我们再给这样的系统加上随机跳变的特性（嵌入Markov链），就得到了更为复杂但也更贴近现实的非方广义Markov跳变系统。

这类系统之所以重要，是因为它揭示了现实世界的两个核心特点：复杂性：很多系统（如基因网络、金融市场、城市交通）状态变量维度很高，难以用有限的条件完全约束；冗余性：另一些系统（如自动驾驶、化工过程）则通过多余的传感器或约束提升可靠性和鲁棒性。

正是这种“不对等”，反而让我们能更好地理解和设计面对真实世界的复杂系统。

与多学科交叉融合：揭开复杂系统背后的秩序与奥秘

如今，随着人工智能、大数据等技术的飞速进步，广义Markov跳变系统正在与越来越多的学科交叉融合，在多个前沿领域都发挥着越来越重要的作用。

比如在传统控制方法中，系统的“行为规则”（即转移概率矩阵）往往需要人工提前设定，显得比较“死板”。而借助深度强化学习技术，系统可以像人一样“自主学习、不断优化”，不仅运行更稳定，控制精度也大幅提升。

在量子计算领域，中国科学技术大学的研究团队开发了一种新型量子控制器，创造性地引入了“复数域转移概率矩阵”，从而有效对抗了量子比特的退相干效应，提升了量子控制的准确性。

而在工业4.0的浪潮下，广义Markov跳变系统更是数字孪生工厂的“智慧大脑”——以西门子开发的Twin Controller系统为例，它能够在虚拟环境中模拟12类不同的故障状况，提前对控制系统进行“实战演练”，一旦真实生产线出现异常，系统就能迅速匹配历史场景、做出精准响应，就像一位经验丰富的“老师傅”一样从容应对。

从物理世界到数字空间，从微观粒子到宏观经济，广义Markov跳变系统为我们提供了一副独特的“数学眼镜”。它不仅帮助我们理解现实世界中无处不在的随机性，更致力于在看似无序的变化中寻找隐藏的规律。正如控制论创始人Norbert Wiener所说：“完全确定性是幻象，但绝对的混沌同样罕见。”在这个充满不确定性的世界里，广义Markov跳变系统就像一位敏锐的“侦探”，持续帮助科学家和工程师揭开复杂系统背后那些不为人知的秩序与奥秘。

作者简介

赵振礼：山东大学数学学院博士生，主要研究方向包括广义系统、非方广义Markov跳变系统、滤波器设计及控制问题。

马树萍：山东大学教授，数学学院博士生导师，主要研究方向包括广义系统、广义混杂系统、时滞系统、滑模控制、鲁棒控制。主持国家自然科学基金面上项目4项，发表论文100余篇，获山东省自然科学二等奖2项。

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责任编辑：kj015

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